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(2010•济南一模)已知函数f(x)=sin(ωx+?),其中ω>0,|φ|<
π
2
|,若a=(1,1),b=(cos?,-sinφ)
,且
a
b
,又知函数
f(x)的周期为π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若将f(x)的图象向右平移
π
6
个单位得到g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
分析:(1)根据所给的两个向量垂直,得出它们的数量积为0,求出φ值,再根据周期公式求出ω,最后写出函数的解析式.
(2)根据函数的图象的平移的原则,写出新的函数的解析式,根据正弦曲线的单调区间写出函数的单调递增区间.
解答:解:(1)∵
a
b

a
b
=0…(1分)
a
b
=cosφ-sinφ=
2
(
2
2
cosφ-
2
2
sinφ)=
2
cos(φ+
π
4
)=0
…(3分)
∴φ+
π
4
=kπ+
π
2
,k∈Z

φ=kπ+
π
4
,k∈Z

又∵|φ|<
π
2

∴φ=
π
4
.…(5分)
∵函数f(x)的周期T=π,即
ω
=π,ω=2.
∴解析式为f(x)=sin(2x+
π
4
)
…(6分)
(2)由题意知,函数f(x)的图象向右平移
π
6
个单位得到g(x)的图象
g(x)=sin[2(x-
π
6
)+
π
4
]=sin(2x-
π
12
)
…(8分)
∴g(x)的单调递增区间为2kπ-
π
2
≤2x-
π
12
≤2kπ+
π
2
,k∈Z

解得kπ-
24
≤x≤kπ+
24
,k∈Z
,…(10分)
∴g(x)的单调递增区间为[kπ-
24
,kπ+
24
](k∈Z)
…(12分)
点评:本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系、正弦函数的单调性和函数的图象的平移,本题解题的关键是正确写出函数的解析式,这是后面解题的依据,本题是一个中档题目.
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x2
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+
y2
b2
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1
4
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