Question

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	35	0.350
第3组	[170，175）	30	0.300
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

（I）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（II）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，请列举出抽取2名学生的所有可能；请列举出第4组至少有一名学生被考官A面试的所有可能；并求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．

Answer 1

分析：（I）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，抽样比为

1

10

，由此能求出第3、4、5组分别抽取多少人．
（II）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，从六位同学中抽两位同学有15种可能，其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的有9种可能，由此能求出其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的概率．

解答：解：（I）因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：

30

60

×6=3人，…（1分）
第4组：

20

60

×6=2人，…（2分）
第5组：

10

60

×6=1人，…（3分）
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人
（II）设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，
第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），…（6分）
其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）9种可能，…（9分）
所以其中第4组的2位同学为B₁，B₂至少有一位同学入选的概率为

9

15

=

3

5

．…（12分）

点评：本题考查列举法计算基本事件数和事件发生的概率，是基础题．解题时要认真审题，避免重复和遗漏．