Question

如图，已知二面角α—AB—β的大小为120º，PC⊥α于C，PD⊥β于D，且PC=2，PD=3．

（1）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（2）求点P到直线AB的距离．

 

Answer 1

【答案】

(1) 90º (2)

【解析】

试题分析：解：（1）∵PC⊥α于C，PD⊥β于D．

∴PC⊥AB，PD⊥AB．又PC∩PD=D．

∴AB⊥平面PCD．

∴AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成角的大小为90º．       ……6分

（2）设平面ACD与直线AB交于点E，连结CE，DE，PE

由（1）可知，AB⊥平面PCD．

∴AB⊥CE，AB⊥DE，AB⊥PE．

∴∠CED为二面角α—AB—β的平面角，……8分

从而∠CED=120º．

∵PC⊥α，PD⊥β．∴PC⊥CE，PD⊥DE．

∴∠CPD=60º．又PC=2，PD=3．

∴由余弦定理，得CD²=4+9-12cos60º=7，从而CD=．……10分

∵PE为四边形PCED的外接圆直径．

∴由正弦定理，得PE==．   ……12分

考点：异面直线所成的角和点到面的距离

点评：解决的关键是根据异面直线所成的角的平移法来得到，以及根据二面角来得到点到面的距离，结合正弦定理求解，属于基础题。