Question

设f（x）是定 义在R上的一个给定的函数，函数g(x)=

C

0 n

f(

0

n

)(1-x)n+

C

1 n

f(

1

n

)(1-x)n-1x+

C

2 n

f(

2

n

)(1-x)n-2x2+…+

C

n n

f(

n

n

)(1-x)0xn（x≠0，1）
（1）当f（x）=1时，求g（x）；   
（2）当 f（x）=x时，求g（x）．

Answer 1

分析：（1）当f（x）=1时，g（x）=

C

0 n

（1-x）ⁿ+

C

1 n

（1-x）^n-1•x+…+

C

n n

（1-x）⁰•xⁿ=[（1-x）+x]ⁿ，从而可得答案；
（2）当 f（x）=x时，g（x）的通项中的二项式系数可化为：

C

r n

•

r

n

=

C

r-1 n-1

，逆用二项式定理即可得到g（x）的表达式．

解答：解：（1）当f（x）=1时，g（x）=

C

0 n

（1-x）ⁿ+

C

1 n

（1-x）^n-1•x+…+

C

n n

（1-x）⁰•xⁿ
=[（1-x）+x]ⁿ
=1；
（2）∵f（x）=x时，g（x）的通项中的二项式系数为：

C

r n

•

r

n

=

n(n-1)…(n-r+1)

r!

•

r

n

=

C

r-1 n-1

，
∴g（x）=

C

0 n-1

•（1-x）^n-1•x+

C

1 n-1

•（1-x）^n-2•x•x+

C

3 n-1

•（1-x）^n-3•x²•x+…+

C

r-1 n-1

•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1•x+…+

C

n-1 n-1

•（1-x）⁰•x^n-1•x
=x[

C

0 n-1

•（1-x）^n-1+

C

1 n-1

•（1-x）^n-2•x+

C

3 n-1

•（1-x）^n-3•x²+…+

C

r-1 n-1

•（1-x）^{（n-1）-（r-1）}•x^r-1+…+

C

n-1 n-1

•（1-x）⁰•x^n-1]
=x[（1-x）+x]^n-1
=x．

点评：本题考察二项式定理的应用，逆用二项式定理是解决问题的关键，求得

C

r n

•

r

n

=

C

r-1 n-1

是基础，考察学生观察问题、分析问题、解决问题的综合素质，属于难题．