Question

某正四面体的俯视图是如图所示的边长为2正方形ABCD，这个正四面体外接球的体积是

4

3

π

．

Answer 1

分析：由正四面体的俯视图是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为2的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积．

解答：解：∵正四面体的俯视图是如图所示的边长为2正方形ABCD，
∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，
所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
由题意可知，正方体的棱长为2，所以外接球的半径为R=

2 3

2

=

3

，
所以此四面体的外接球的体积V=

4

3

×π×(

3

)3=4

3

π．
故答案为：4

3

π．

点评：本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．