Question

　　已知抛物线的焦点为F，准线为l，是否存在双曲线C，同时满足以下两个条件：

　　(Ⅰ)双曲线C的一个焦点为F，相应于F的准线为l；

　　(Ⅱ)双曲线C截与直线x－y＝0垂直的直线所得线段AB的长为2，并且线段AB的中点恰好在直线x－y＝0上．

若存在，求出该双曲线C的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查直线与圆锥曲线的有关知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力． 　　解：假设满足题意的双曲线C存在，并设其离心率为e，AB的中点坐标为(a，a)，点A的坐标为，则点B的坐标为(2a－，2a－)． 　　∵直线AB的斜率＝－1，且|AB|＝ 　　∴ 　　由此解得 　　 　　不失一般性，取A(a－1，a＋1)，B(a＋1，a－1)． 　　由于F(0，0)和l：x＝－1是对应的焦点和准线， 　　 　　解之，得a＝－1，e＝2． 　　故满足题意的双曲线存在，其方程为 　　＝2，即＋8x＋4＝0．