Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*）
（1）证明数列{a_n-2ⁿ}是等差数列，并求{a_n}的通项公式
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，求b_n的前n和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*），可得（a_n-2ⁿ）-（a_n-1-2^n-1）=3，即可证明．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*），∴（a_n-2ⁿ）-（a_n-1-2^n-1）=3，
∴数列{a_n-2ⁿ}是等差数列，公差为3，首项为2．
∴a_n-2ⁿ=2+3（n-1）=3n-1．
∴a_n=2ⁿ+3n-1．
（2）解：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
∴b_n的前n和T_n=1+$\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{8}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-7}{{2}^{n}}$+$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+3$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$=3×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=5-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．