Question

已知数列{a_n}，如果数列{b_n}满足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“生成数列”
（1）若数列{a_n}的通项为a_n=n，写出数列{a_n}的“生成数列”{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的通项为c_n=2n+b，（其中b是常数），试问数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是否是等差数列，请说明理由．
（3）已知数列{d_n}的通项为dn=2n+n，设数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和为T_n，问是否存在自然数m满足满足（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，若存在请求出m的值，否则请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据“生成数列”的定义，数列{b_n}满足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，结合数列{a_n}的通项为a_n=n，递推可得结论；
（2）根据“生成数列”的定义，结合数列{c_n}的通项为c_n=2n+b，（其中b是常数），求出数列{c_n}的“生成数列”{l_n}，利用等差数列的定义判断后可得结论；
（3）根据“生成数列”的定义，结合数列{d_n}的通项为dn=2n+n，求出数列{d_n}的“生成数列”{p_n}的前n项和为T_n，解不等式可得m的值．

解答：解：（1）∵数列{b_n}满足b1=a1 ，bn=an+an-1 (n≥2，n∈N*)，
数列{a_n}的通项为a_n=n，
∴bn=

1                   n=1 2n-1            n≥2 ，∈N*

3分
综合得：b_n=2n-14分
（2）ln=

2+B                   n=1 4n+2B-2        n≥2 ，∈N*

6分
当b=0时，l_n=4n-2，由于l_n+1-l_n=4（常数）
所以此时数列{c_n}的“生成数列”{l_n}是等差数列            8分
当b≠0时，由于c₁=2+b，c₂=6+2b，c₃=10+2b，9分
此时c₁+c₃≠2c₂，
∴此时数列{c_n}的“生成数列”{l_n}不是等差数列．        10分
（3）pn=

3                          n=1 3•2n-1+2n-1        n＞1

11分
当n=1时，T_n=p₁=312分
当n≥2时Tn=p1+p2+p3+…+pn=3+(3•2+3)+(3•22+5)+…+(3•2n-1+2n-1)
=3+（3•2+3•2²+…+3•2^n-1）+（3+5+…+2n-1）
=3•2ⁿ+n²-4，14分
所以Tn=

3                          n=1 3•2n+n2-4        n≥2

，15分
若（T_m-2012）（T_m-6260）≤0，则2012≤T_n≤626016分
由于{T_n}对于一切自然数是增函数，
T₉=1613＜2012，T₁₀=3168＞2013T₁₁=6261＞6260
所以存在唯一的自然数m=10满足若（T_m-2012）（T_m-6260）≤0成立            18分．

点评：本题考查的知识识是数列与不等式，等差关系的确定，数列的递推式，是数列知识较为综合的应用，还涉及新定义，较难理解，属于难题．