Question

下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面．

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，求证：平面SAC⊥平面SBD，并求点A到平面SBD的距离．

Answer 1

分析：（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一条侧棱SA垂直于底面．
（2）证明出BD⊥面SAC即可证出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性质定理，由A向平面SAC与平面SBD的交线作垂线，构造直角三角形解决点A到平面SBD的距离．

解答：解：（1）存在一条侧棱SA⊥平面ABCD，如图所示．
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．
（2）

SA⊥面ABCD BD?面ABCD

?BD⊥SA
又BD⊥AC，AC∩SA=A
由线面垂直的判定定理，
BD⊥面SAC，又BD?面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD    
设O为底面中心，则 平面SAC∩平面SBD=SO                                                             
过A作AH⊥SO，垂足为H，由面面垂直的性质定理，AH⊥面SBD，
所以AH即为所求，在直角三角形SAO中，SO²=SA²+AO^2₌ a2+(

2 a

2

) =

3

2

a2
   SA×AO=SO×AH，∴AH=

a× 2 a 2

6a 2

=

3a

3

          
                                                                     

点评：本题考查线面垂直、面面垂直定义，判定，性质．以及空间距离的求解．平面问题与空间问题相互转化的思想方法，考查计算能力．