Question

（2013•浙江二模）如图，过抛物线C：y²=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）确定A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)，可得k_PA=

y1+2

y12 4 -1

=

4(y1+2)

y12-4

=

4

y1-2

，kPB=

4

y2-2

，利用k_PA=-k_PB，即可求得y₁+y₂的值；
（2）由（1）知kAB=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=1，可得AB的方程x-y+y1-

y12

4

=0，计算P到AB的距离，可得S_△PAB的面积，再利用换元法，构造函数，即可求得S_△PAB的最大值．

解答：解：（1）因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线C：y²=4x上，
所以A(

y12

4

，y1)，B(

y22

4

，y2)，k_PA=

y1+2

y12 4 -1

=

4(y1+2)

y12-4

=

4

y1-2

，
同理kPB=

4

y2-2

，依题有k_PA=-k_PB，
所以

4

y1-2

=-

4

y2-2

，所以y₁+y₂=4．   （4分）
（2）由（1）知kAB=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=1，
设AB的方程为y-y1=x-

y12

4

，即x-y+y1-

y12

4

=0，P到AB的距离为d=

|3+y1- y12 4 |

2

，AB=

2

|

y12

4

-

y22

4

|=

2

|y1-y2|=2

2

|2-y1|，
所以

S△PAB= 1 2 × |3+y1- y12 4 | 2 ×2 2 |2-y1|

=

1

4

|y12-4y1-12||y1-2|=

1

4

|(y1-2)2-16||y1-2|，（8分）
令y₁-2=t，由y₁+y₂=4，y₁≥0，y₂≥0，可知-2≤t≤2.S△PAB=

1

4

|t3-16t|，
因为S△PAB=

1

4

|t3-16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，
记f（t）=|t³-16t|=16t-t³，f′（t）=16-3t²＞0，故f（t）在[0，2]是单调增函数，
故f（t）的最大值为f（2）=24，
所以S_△PAB的最大值为6．（10分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查换元法，考查导数知识的运用，构建函数是关键．