Question

6．有下列五个命题：
①函数f（x）=$\frac{|x|}{|x-2|}$是偶函数；
②函数y=$\sqrt{x-1}$的值域为{y|y≥0}；
③已知集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，则a的取值集合为$\left\{{-1，\frac{1}{3}}\right\}$
④关于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0的一个根大于1，一个根小于1，则实数m 的取值范围是$\left\{{m|m＜-\frac{2}{3}}\right\}$；
⑤若f（x）的定义域为R，且在（-∞，+∞）上是增函数，a∈R，且a≠$\frac{1}{2}$，则$f（\frac{3}{4}）$与f（a²-a+1）的大小关系是$f（\frac{3}{4}）＜f（{a^2}-a+1）$．
你认为正确命题的序号为：②④⑤．

Answer 1

分析 ①函数f（x）=$\frac{|x|}{|x-2|}$的定义域是：{x|x∈R，x≠2}，关于定义域不对称，即可判断出奇偶性；
②由于x≥1时，函数y=$\sqrt{x-1}$有意义，即可得出函数的值域；
③由于集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，A∪B=A，因此B可能为∅，{-1}，{3}，分类讨论即可判断出正误；
④由已知可得，$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{f（1）=3m+2＜0}\end{array}\right.$，解得m范围即可判断出正误；
⑤由于a≠$\frac{1}{2}$，a²-a+1-$\frac{3}{4}$=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$＞0，可得a²-a+1＞$\frac{3}{4}$．利用其单调性即可判断出正误．

解答 解：①函数f（x）=$\frac{|x|}{|x-2|}$的定义域是：{x|x∈R，x≠2}，关于定义域不对称，因此是非奇非偶函数，不正确；
②由于x≥1时，函数y=$\sqrt{x-1}$有意义，其函数的值域为{y|y≥0}，正确；
③∵集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，A∪B=A，∴B可能为∅，{-1}，{3}，当a=0时，方程ax-1=0无解，此时B=∅；当B={-1}时，-a-1=0，解得a=-1；
当B={3}时，3a-1=0，解得a=$\frac{1}{3}$．综上可得：a的取值集合为$\{0，-1，\frac{1}{3}\}$，因此不正确；
④关于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0的一个根大于1，一个根小于1，$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{f（1）=3m+2＜0}\end{array}\right.$，解得$m＜-\frac{2}{3}$，则实数m 的取值范围是$\left\{{m|m＜-\frac{2}{3}}\right\}$，正确；
⑤∵a≠$\frac{1}{2}$，a²-a+1-$\frac{3}{4}$=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$＞0，∴a²-a+1＞$\frac{3}{4}$．又f（x）的定义域为R，且在（-∞，+∞）上是增函数，$f（\frac{3}{4}）＜f（{a^2}-a+1）$，正确．
综上可得：只有②④⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评 本题考查了函数的单调性奇偶性等性质、集合的性质、一元二次方程的解、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．