Question

6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（2）已知P为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$上一点，求P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；
（2）设P（$\sqrt{3}$cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
整理得：ρ（sinθcos$\frac{π}{4}$-cosθsin$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=2$\sqrt{2}$，
即ρsinθ-ρcosθ=4，
则直角坐标系中的方程为y-x=4，即x-y+4=0；
（2）设P（$\sqrt{3}$cosα，3sinα），
∴点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-3sinα+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}cos（α+\frac{π}{3}）+4}{\sqrt{2}}$≥$\frac{-2\sqrt{3}+4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
则P到直线l的距离的最小值为2$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了简单曲线的极坐标方程，熟练掌握简单极坐标方程与普通方程的转化是解本题的关键．