Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

27

=1与点M（5，3），F为右焦点，试在双曲线上求一点P，使|PM|+

1

2

|PF|最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：根据题意，算出双曲线的离心率e=2，右准线为l：x=

3

2

．作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，根据圆锥曲线统一定义得到|PM|+

1

2

|PF|=|PM|+|PN|．由平几知识可得：当M、N、P三点共线时，|PM|+|PN|=|MN|达到最小值，由此即可求出点P的坐标和|PM|+

1

2

|PF|的最小值．

解答：解：∵双曲线方程为

x2

9

-

y2

27

=1，
∴a=3，b=3

3

，c=

a2+b2

=6
可得离心率e=

c

a

=2，

a2

c

=

3

2

，所以右准线为l：x=

3

2

作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则
由圆锥曲线统一定理各

PF

PN

=e，可得|PF|=e|PN|=2|PN|
∴|PN|=

1

2

|PF|，因此，|PM|+

1

2

|PF|=|PM|+|PN|
当且仅当M、N、P三点共线时，|PM|+|PN|=|MN|达到最小值
此时，在

x2

9

-

y2

27

=1中令y=3，得x=±2

3

∵x＞0，∴取x=2

3

即当P的坐标为（2

3

，3）时，|PM|+

1

2

|PF|的最小值为|MN|=

7

2

．

点评：本题给出双曲线上的动点P和定点M（5，3），求|PM|+

1

2

|PF|的最小值，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、圆锥曲线的统一定义等知识，属于中档题．