Question

已知点M到点F(0，1)和直线l:y=-1的距离相等，求点M的轨迹方程.

Answer 1

解：设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P=｛Ｍ||ＭF|＝|ＭＱ|｝，其中Q是点M到直线y=-1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式得=|y+1|,将上式两边平方得x²+(y-1) ²=(y+1) ²,化简得y=x ².?①?

下面证明方程①是所求轨迹的方程．?

(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；?

(2)设点M₁的坐标(x₁，ｙ₁)是方程①的解，那么，即x₁²+(y₁-1)²=(y₁+1)², =|y₁+1|,|M₁F|=|M₁Q₁|.其中Q₁是点M ₁到直线y=-1的垂线的垂足，因此点M₁是曲线上的点.?

由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如上图．