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【题目】若不等式ln(x+2)+a(x2+x)≥0对于任意的x∈[﹣1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是(
A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[0,e]
D.[﹣1,0]

【答案】B
【解析】解:令f(x)=ln(x+2)+a(x2+x),x∈[﹣1,+∞),

∵不等式ln(x+2)+a(x2+x)≥0对于任意的x∈[﹣1,+∞)恒成立,

∴fmin(x)≥0,

f′(x)= +2ax+a=

令g(x)=2ax2+5ax+2a+1,

⑴若a=0,则g(x)=1,∴f′(x)>0,

∴f(x)在[﹣1,+∞)上单调递增,∴fmin(x)=f(﹣1)=0,符合题意;

⑵若a>0,则g(x)的图象开口向上,对称轴为x=﹣

∴g(x)在[﹣1,+∞)上单调递增,∴gmin(x)=g(﹣1)=1﹣a,

①若1﹣a≥0,即0<a≤1,则g(x)≥0,∴f′(x)≥0,由(1)可知符合题意;

②若1﹣a<0,即a>1,则存在x0∈(﹣1,+∞),

使得当x∈(﹣1,x0)时,g(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,

∴f(x)在(﹣1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,

∴fmin(x)<f(﹣1)=0,不符合题意;

⑶若a<0,则g(x)的图象开口向下,对称轴为x=﹣

∴g(x)在[﹣1,+∞)上单调递减,gmax(x)=g(﹣1)=1﹣a>0,

∴存在x1∈(﹣1,+∞),使得当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,当x∈(x1,+∞)时,g(x)<0,

∴f(x)在(﹣1,x1)单调递增,在(x1,+∞)上单调递减,

∴f(x)在(﹣1,+∞)上不存在最小值,不符合题意;

综上,a的取值范围是[0,1].

故选B.

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