Question

已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为

4 3

27

．

Answer 1

分析：设出正四棱锥的底面边长，求出正四棱锥的高，推出体积，利用基本不等式求出体积的最大值．

解答：解：设正四棱锥的底面边长为：a，
所以正四棱锥的高为：

1-( 2 a 2 )2

=

1- a2 2

．
所以正四棱锥的体积为：V=

1

3

a2

1- a2 2

=

4

3

(1- a2 2 )• a2 4 • a2 4

≤

4

3

•

( 1- a2 2 + a2 4 + a2 4 3 )3

=

4 3

27

．
当且仅当1-

a2

2

=

a2

4

即a=

2 3

3

时，等号成立，此时正四棱锥的体积最大．
故答案为：

4 3

27

．

点评：本题考查正四棱锥的体积求法，不等式求最值的应用，考查计算能力．