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    已知函数.（为自然对数的底）

    （Ⅰ）求的最小值；

    （Ⅱ）是否存在常数使得对于任意的正数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

     

    【答案】

    （Ⅰ）解：由，得.

    令，得，所以.                                  2分

    当时，，所以在内是减函数；          

    当时，，所以在内是增函数.               2分

    故函数在处取得最小值.                          2分

    （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，有，

    即，当且仅当时，等号成立.

    即两曲线，有唯一公共点.                       3分

    若存在,，则直线是曲线和的公切线，切点为.      3分

    由，得直线的斜率为.

    又直线过点，所以，得.

    故存在，，使得对于任意正数恒成立.   3分

    【解析】略

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （12分）已知函数且e为自然对数的底数）。

    （1）求的导数，并判断函数的奇偶性与单调性；

    （2）是否存在实数t，使不等式对一切都成立，若存在，求出t；若不存在，请说明理由。

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    科目：高中数学 来源：2014届福建省、二中高二上学期期末联考理科数学卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数，，(为自然对数的底数)．

    （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

    （Ⅱ）函数在区间上恒为正数，求的最小值；

    （Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围．

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年湖南省怀化市高三第一次模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数（，为自然对数的底数）.

    （1）求函数的最小值；

    （2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值；

    （3）在（2）的条件下，证明：

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年甘肃高三第五次阶段性学科达标考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数，（为自然对数的底数）。

    （1）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；

    （2）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围。

     

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    科目：高中数学 来源：2013届江西省四校度高二下学期期末联考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    已知函数，(e为自然对数的底数)

    （Ⅰ）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

    （Ⅱ）若函数f(x)在上无零点，求a的最小值；

    （III）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求a的取值范围.

     

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