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已知函数,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】分析:(1)求导数,利用f′(2-x)=f′(x),可求b的值;利用曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,可求a,c,d的值,从而可得函数解析式;
(2)确定函数解析式,分类讨论,可求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)求出函数h(x),再将不等式转化为具体不等式,利用最值法,即可求得实数t的取值范围.
解答:解:(1)求导数可得f′(x)=x2+2bx+c
∵f′(2-x)=f′(x),∴f′(x)关于x=1对称,∴b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12,设交点为(a,0),则f(a)=0,f′(a)=4
∴在(a,0)处的切线为:y=4(x-a)+0=4x-4a=4x-12,∴4a=12,∴a=3
由f'(3)=9-6+c=3+c=4得:c=1
由f(3)=×27-32+3+d=0得:d=-3
所以有:2+x-3
(2)=x|x-1|
当x≥1时,g(x)=x(x-1)=x2-x=(x-2-,函数为增函数
x<1时,g(x)=-x2+x=-(x-2+,最大为g()=
比较g(m)=m(m-1)与得:m≥时,m(m-1)≥
因此,0<m时,g(x)的最大值为m-m2时,g(x)的最大值为
m>时,g(x)最大值为m2-m
(3)h(x)=lnf′(x)=ln(x-1)2,x∈[0,1]时,h(x)=2ln(1-x)
∵对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立
∴2ln(t-x)<2ln(-2x-1)
∴0<t-x<-2x-1
∴x<t<-x-1
∵x∈[0,1],
∴-1<t<0
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的解析式,考查函数的最值,考查恒成立问题,确定函数的解析式是关键.
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