Question

如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求：
（1）AD与BC所成的角；
（2）AD和平面BCD所成的角；
（3）二面角A-BD-C的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，通过 与 的夹角去求AD与BC所成的角．
（2）通过求 与平面BCD的夹角去求AD和平面BCD所成的角．
（3）求出平面CBD的一个法向量为 以及平面ABD的一个法向量为 ，求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．
解答：解：（1）设AB=1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：
O（0，0，0）D（，0，0）B（0，，0）C（0，，0）A（0，0，）
=（，0，-），•=（，0，-）•（0，1，0）=0
所以AD与BC所成角等于90°．
（2）由（1）可知=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量
|cos＜，＞|=||=|-|=
∴直线AD与平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（3）设平面ABD的法向量为=（x，y，1）则
（x，y，1）•=（x，y，1）•（0，，-）=0
（x，y，1）•=（x，y，1）•（，0，-）=0
解得  x=1，y=，
则=（1，，1）
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A-BD-C大小为θ，则
|cosθ|===
又  二面角A-BD-C为钝二面角    
因此，二面角的余弦为．
（第一问中含建立坐标系2分）
点评：本题考查空间角的计算，二面角求解，考查转化的思想方法，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证变成了代数运算，使人们解决问题更加方便．