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    6．在△ABC中，点D在BC上，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{DC}$，过D作直线交AB、AC于M、N点，$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}$=y$\overrightarrow{AN}$（x，y为非零实数）
    （1）当λ=1时，求证：x+y为定值；
    （2）当λ为定值且λ＞0时，求xy的最大值．

    分析 （1）由题意$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$；从而表示出$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$x-1）$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$；$\overrightarrow{ND}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+（$\frac{1}{2}$y-1）$\overrightarrow{AN}$；从而由M、N、D三点共线可得x+y=2；
    （2）与（1）类似可得$\frac{λ}{1+λ}$y+$\frac{1}{1+λ}$x=1；从而可得xy=y（1+λ-λy），从而求最大值．

    解答 解：（1）证明：由题意，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，
    ∴D是BC的中点，
    ∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$；
    ∴$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$x-1）$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$；
    $\overrightarrow{ND}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+（$\frac{1}{2}$y-1）$\overrightarrow{AN}$；
    则由M、N、D三点共线可得，
    存在实数a，使$\overrightarrow{MD}$=a$\overrightarrow{ND}$；
    即（$\frac{1}{2}$x-1）$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2}$y$\overrightarrow{AN}$=a（$\frac{1}{2}$x$\overrightarrow{AM}$+（$\frac{1}{2}$y-1）$\overrightarrow{AN}$）=$\frac{1}{2}$xa$\overrightarrow{AM}$+（$\frac{1}{2}$y-1）a$\overrightarrow{AN}$；
    故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-1=\frac{1}{2}xa}\\{\frac{1}{2}y=（\frac{1}{2}y-1）a}\end{array}\right.$；
    故x+y=2；
    （2）由题意$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$=（1+λ）$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=y$\overrightarrow{AN}$-x$\overrightarrow{AM}$；
    $\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{1+λ}$（y$\overrightarrow{AN}$-x$\overrightarrow{AM}$）；
    故$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{DC}$=y$\overrightarrow{AN}$-$\frac{1}{1+λ}$（y$\overrightarrow{AN}$-x$\overrightarrow{AM}$）=$\frac{λ}{1+λ}$y$\overrightarrow{AN}$+$\frac{1}{1+λ}$x$\overrightarrow{AM}$；
    故$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{λ}{1+λ}$y$\overrightarrow{AN}$+$\frac{1}{1+λ}$x$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{1+λ}$x-1）$\overrightarrow{AM}$+$\frac{λ}{1+λ}$y$\overrightarrow{AN}$；
    $\overrightarrow{ND}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AN}$=$\frac{λ}{1+λ}$y$\overrightarrow{AN}$+$\frac{1}{1+λ}$x$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{1+λ}$x$\overrightarrow{AM}$+（$\frac{λ}{1+λ}$y-1）$\overrightarrow{AN}$；
    则由M、N、D三点共线可得，
    （$\frac{1}{1+λ}$x-1）（$\frac{λ}{1+λ}$y-1）=$\frac{λ}{1+λ}$y$\frac{1}{1+λ}$x；
    化简可得，$\frac{λ}{1+λ}$y+$\frac{1}{1+λ}$x=1；
    故x=1+λ-λy；
    故xy=y（1+λ-λy），
    故当y=$\frac{1+λ}{2λ}$时，xy有最大值$\frac{（λ+1）^{2}}{4λ}$．

    点评 本题考查了平面向量的应用，利用了平面向量的基本定理，属于中档题．

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