Question

3．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n?γ且（1）或（3），则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
（1）α∥γ，n?β； （2）m∥γ，n∥β；（3）n∥β，m?γ．可以填入的条件有（1）或（3）．

Answer 1

分析 可以在横线处填入的条件是（1），即“若α∩β=m，n?γ，且α∥γ，n?β，则m∥n”为真命题．如图2所示，由α∩β=m，可得m?β，可得β∩γ=n，已知α∥γ，利用线面平行的性质定理可得m∥n；
在横线处填入的条件不能是（2）．如图3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．举反例：假设α∩γ=l，由m∥γ，可得m∥l．若n∩l=P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾；
可以在横线处填入的条件是（3）．如图1所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，则m∥n”为真命题．利用同一平面内两条直线的位置关系可得m∥n或m∩n=P，由反证法排除m∩n=P即可．

解答 解：可以在横线处填入的条件是（1）．
即若α∩β=m，n?γ，且α∥γ，n?β，则m∥n”为真命题．
证明如下：如图2所示，∵α∩β=m，∴m?β，
∵n?γ，n?β，∴β∩γ=n，
又α∥γ，∴m∥n；
在横线处填入的条件不能是（2）．
如图3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；则m∥n”为假命题．
证明：假设α∩γ=l，∵m∥γ，∴m∥l．
若n∩l=P，则m与n必不平行，否则与n∩lP相矛盾；
可以在横线处填入的条件是 （3）．
即若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，则m∥n”为真命题．
如图1所示，
证明如下：∵α∩β=m，n?γ，m?γ，∴m∥n或m∩n=P，
假设m∩n=P，则P∈n，P∈m，又α∩β=m，∴P∈β，
这与n∥β相矛盾，因此m∩n=P不成立，故m∥n．
故答案为：（1）或（3）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．