Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先证，，进而证明⊥平面，从而得证；

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.

又因为平面,所以.

又,所以⊥平面.                     

又平面，所以                                       ……6分

（Ⅱ）依题意,知

平面平面，交线为，

过点作，垂足为，则平面.

在平面内过作，垂足为，连,

则⊥平面，所以为二面角的一个平面角 .       ……9分

∵，,

∴, .                                        ……10分

又，故. 所以.                            ……11分

∴.

即二面角的余弦值为.                                      ……12分

考点：本小题主要考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解.

点评：在空间中证明直线、平面间的位置关系时，要紧扣判定定理和性质定理，定理中要求的条件要一一列举出来，缺一不可.