Question

（不等式选讲选做题）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞

1

a

存在实数解，则实数a的取取值范围是

 

．

Answer 1

分析：令f（x）=|x+1|-|x-2|，则f（x）=

3，x≥2 2x-1，-1＜x＜2 -3，x≤-1

，如图所示．由于关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞

1

a

存在实数解?

1

a

＜f（x）_max，解出即可．

解答：解：令f（x）=|x+1|-|x-2|，
则f（x）=

3，x≥2 2x-1，-1＜x＜2 -3，x≤-1

，如图所示．
∵关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞

1

a

存在实数解，
∴

1

a

＜f（x）_max=3，
解得a＜0或a＞

1

3

，
故a的取值范围是（-∞，0）∪(

1

3

，+∞)．
故答案为（-∞，0）∪(

1

3

，+∞)．

点评：本题考查了含绝对值的不等式的恒成立问题的等价转化、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．