Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点．
（1）求证：PQ∥平面ACD；
（2）求几何体B-ADE的体积．

Answer 1

解：
（1）证明：取BC的中点O，∵P、Q分别为DE、AB的中点，则OQ是△ABC的中位线，∴OQ∥AC，OQ∥面ACD．
∵EB∥DC，∴OP是梯形BCDE的中位线，∴OP∥CD，OP∥面ACD．
这样，面POQ中，由两条相交直线 OQ、OP都和面ACD 平行，∴面OPQ∥面ACD，∴PQ∥平面ACD．
（2）由EB∥DC 可得DC∥面ABE，故D、C两点到 面ABE的距离相等，
∴B-ADE的体积V_B-ADE=V_D-ABE=V_C-ABE． C到AB的距离等于 ==．
V_C-ABE=（•AB•BE）•=．故几何体B-ADE的体积为 ．
分析：（1）由OQ是△ABC的中位线，可得OQ∥AC，OQ∥面ACD；由OP是梯形BCDE的中位线，得OP∥CD，OP∥面ACD，由面OPQ∥面ACD，得到 PQ∥平面ACD．
（2）D、C两点到 面ABE的距离相等，故V_B-ADE=V_D-ABE=V_C-ABE，故求出V_C-ABE即为所求．
点评：本题考证明查线面平行的方法，求三棱锥的体积，把求B-ADE的体积转化为求 V_C-ABE是解题的难点．