Question

如图，双曲线与抛物线相交于，直线AC、BD的交点为P（0，p）。

（I）试用m表示
（II）当m变化时，求p的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）x₁x₂＝·＝＝．
（Ⅱ）p的取值范围是．

试题分析：（Ⅰ）依题意，A、B、C、D四点坐标是下面方程组的解：

消去x，得y²－y＋1－m＝0，                     2分
由Δ＝1－4(1－m)＞0，得m＞，
且y₁＋y₂＝1，y₁y₂＝1－m．
x₁x₂＝·＝＝．    6分
（Ⅱ）由向量＝(x₁，y₁－p)与＝(－x₂，y₂－p)共线，
得x₁(y₂－p)＋x₂(y₁－p)＝0，
∴p＝            9分
＝，
∵m＞，∴0＜p＜，
故p的取值范围是．                     12分
点评：中档题，涉及曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，消元后，应用韦达定理，简化运算过程。本题（II）通过应用平面向量共线的条件，建立了p，m的关系，利用函数的观点，确定得到p的范围。