Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＞CD．设以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e₁，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁•e₂=

 

．

Answer 1

分析：设AD=t，不妨设AB=2t，令∠DAB=θ，由余弦定理可求得 BD，由题意并结合椭圆、双曲线的定义，
求出a和 c的值，求出e₁ 和e₂ 的值，即可得到 e₁•e₂ 的值．

解答：解：设AD=t，不妨设AB=2t，令∠DAB=θ，则由余弦定理可求得
BD=

t2+ 4t2-2t•2tcosθ

=t

5-4cosθ

．在双曲线中，2a=DB-DA=t

5-4cosθ

-t，
c=t，

c

a

=

t

t  5-4cosθ -t 2

=

2

5-4cosθ -1

，∴e₁=

2

5-4cosθ -1

．
在椭圆中，2a=BD+BC=t

5-4cosθ

+t，2c=DC，三角形BCD中，由余弦定理可得
BD²=BC²+DC²-2BD•DC cos（π-θ），即   t²（5-4cosθ）=t²+4c²+2t•2c•cosθ，
c=t（1-cosθ），e₂=

c

a

=

t(1-cosθ)

t 5-4cosθ +t 2

=

2(1-cosθ)

5-4cosθ +1

．
∴e₁•e₂=

2

5-4cosθ -1

•

2(1-cosθ)

5-4cosθ +1

=1，
故答案为：1．

点评：本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用；双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a 和c的值，
是解题的关键．