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函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数; ②存在[a,b]⊆D,(a<b)使得f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b],则称y=f(x)为闭函数.若f(x)=k+
x
是闭函数,则实数K的取值范围是
 
分析:根据函数f(x)=k+
x
求出函数的定义域和单调性,根据函数的单调性求函数在[a,b]上的值域也是[a,b],转化为一元二次方程有两个不等正实根,由一元二次方程有两个不等正实根的充要条件
△>0
-
b
2a
>0
f(0)≥0
,求出实数K的取值范围.
解答:解:函数f(x)=k+
x
的定义域为[0,+∞),且是增函数;
若存在区间[a,b]∈[0,+∞) 符合条件,则a<b
k+
a
=a
k+
b
=b
有解,
即方程k+
x
=x
有两个不相同的非负实数根.
设t=
x
,则t≥0,则k=x-
x
=t2-t=(t-
1
2
)2-
1
4
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因为t≥0,所以要使方程有两个不同的实根,则-
1
4
<k<0

∴实数k的取值范围为-
1
4
<k
<0.
故答案为:-
1
4
<k
<0.
点评:考查根据函数解析式求函数的定义域,单调性,和利用单调性求函数的值域,体现了转化和方程的思想方法,属中档题.
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12
(3-x)
]的定义域为
 

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11-x
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f(x+2)
x
的定义域为(  )
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B、[-3,0)
C、[1,4]
D、(0,2]

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