Question

在△ABC中，AB=3，D是△ABC所在平面内一动点且满足（

BD

+

CD

）⊥（

BD

-

CD

），（

CD

-

CA

）•

CB

=4，则|

AC

|=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的中点表示，向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答： 解：由（

BD

+

CD

）⊥（

BD

-

CD

），
则（

BD

+

CD

）•（

BD

-

CD

）=0，
即有

BD

2-

CD

2=0，即|

BD

|=|

CD

|．
取BC的中点M，连接AM，DM，
则有

DM

•

BC

=0，

AM

=

1

2

（

AB

+

AC

），
由（

CD

-

CA

）•

CB

=4，得

AD

•

CB

=4，
即（

AM

+

MD

）•

CB

=4
即

AM

•

CB

+

MD

•

CB

=4，
即有

1

2

（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=4，
则

AB

2-

AC

2=8，

AC

2=9-8=1，
即有|

AC

|=1．
故答案为：1．

点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查中点的向量表示及向量垂直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．