Question

【题目】设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， ，…，即当 ＜n≤ （k∈N*）时， ．记Sn=a1+a2+…+an（n∈N）．对于l∈N ， 定义集合Pl=﹛n|Sn为an的整数倍，n∈N ， 且1≤n≤l}
（1）求P11中元素个数；
（2）求集合P2000中元素个数．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由数列{an}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，

a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，

所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，

S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，

从而S1=a1，S4=0a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，

所以集合P11中元素的个数为5；

（2）

解：先证：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．

事实上，①当i=1时，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；

②假设i=m时成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，

S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3

=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．

综合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2

=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．

由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍数，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），

所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．

又S（i+1）（2i+1）=（i+1）（2i+1）不是2i+2的倍数，

而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），

所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）+j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）

不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，

故当l=i（2i+1）时，集合Pl中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，

于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合Pl中元素的个数为i2+j．

又2000=31×（2×31+1）+47，

故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．

【解析】（1）由数列{an}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合Pl ， 即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．
【考点精析】通过灵活运用数学归纳法的定义，掌握数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法即可以解答此题．