Question

已知正整数指数函数f（x）的图象经过点（3，27），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（5）；
（3）函数f（x）有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．

Answer 1

分析：（1）设正整数指数函数为f（x）=a^x（x∈N₊），由函数f（x）的图象经过点（3，27），求得a的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）直接根据函数f（x）的解析式求得f（5）的值．
（3）由于f（x）的定义域为N₊，且在定义域上单调递增，可得f（x）的最大值和最小值的情况．

解答：解：（1）设正整数指数函数为f（x）=a^x（a＞0，a≠1，x∈N₊），因为函数f（x）的图象经过点（3，27），
所以f（3）=27，即a³=27，解得a=3，所以函数f（x）的解析式为f（x）=3^x（x∈N₊）．
（2）由f（x）=3^x（x∈N₊），可得f（5）=3⁵=243．
（3）∵f（x）的定义域为N₊，且在定义域上单调递增，
∴f（x）有最小值，最小值是f（1）=3；f（x）无最大值．

点评：本题主要考查指数函数的性质的综合应用，用待定系数法求函数的解析式，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．