Question

19．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，BB₁=3，连结BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于点E．
（1）求证：AC₁⊥平面B₁D₁E；
（2）求三棱锥C₁-B₁D₁E的体积；
（3）求C₁到面B₁D₁E的距离．

Answer 1

分析 （1）连接A₁C₁，证明AC₁⊥B₁D₁．AC₁⊥B₁E，利用直线与平面垂直的判定定理证明AC₁⊥平面EB₁D₁；
（2）求出C₁E=$\frac{4}{3}$，转换底面，求三棱锥C₁-B₁D₁E的体积；
（3）利用等体积求C₁到面B₁D₁E的距离．

解答 （1）证明：连接A₁C₁，由条件得A₁B₁C₁D₁是正方形，因此B₁D₁⊥A₁C₁，
又AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥B₁D₁，因此B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
所以AC₁⊥B₁D₁．同理可证：AC₁⊥B₁E．B₁D₁∩B₁E=B₁，
所以AC₁⊥平面EB₁D₁．
（2）解：tan∠B₁BC₁=tan∠C₁B₁E，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{{C}_{1}E}{2}$，
∴C₁E=$\frac{4}{3}$，
三棱锥C₁-B₁D₁E的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{4}{3}$=$\frac{8}{9}$；
（3）解：△B₁D₁E中，B₁D₁=2$\sqrt{2}$，D₁E=B₁E=$\sqrt{4+\frac{16}{9}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，∴${S}_{△{B}_{1}{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{\frac{52}{9}-2}$=$\frac{2\sqrt{17}}{3}$
设C₁到面B₁D₁E的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{17}}{3}h=\frac{8}{9}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查点面距离，考查三棱锥的体积，考查空间想象能力以及计算能力．