Question

已知函数，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=1时，，
所以f′（x）=．
∵函数f（x）在x=3取得极值，
∴f′（3）=0
∴1﹣a+3a=0
∴
∴
∴函数在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴时，函数f（x）在x=3取得极值
（Ⅱ）证明：当a=1时，
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有，
故只需证明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．
令h（x）=x﹣1﹣[1+ln（x﹣1）]=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），
则，
当x≥2时，h'（x）≥0，
故h（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．
故当x≥2时， 有．
即f（x）≤x﹣1．