Question

已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求的取值范围；
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求证：直线AB的斜率．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c²＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴＞0，
所以0＜1．
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则，x₁x₂=，
∴k==
=
=a（）+b（x₂+x₁）+c
=a[]+b（x₂+x₁）+c
=a（-）+b（-）+c
=a[（-）+（-）+]
=（-+），
令t=，由b=-（a+c）得，=-1-t，t∈（0，1），
则k=[-（1+t）²+3t]=（-t²+t-1），
∵a＞0，-t²+t-1∈（-1，-]，∴k∈（-，-]．
分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=-（a+c），求导数f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于的二次不等式即可求得的取值范围；
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则，x₁x₂=，把韦达定理代入k=可得关于a，b，c的表达式，令t=，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决．