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(文)已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若关于x的方程f(x)=kx+k+1在[-1,3]内恰有四个不同的根,则实数k的取值范围是
(-
1
3
,0)
(-
1
3
,0)
分析:把方程f(x)=kx+k+1的根转化为函数f(x)的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论.
解答:解:因为关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1)有4个不同的根,
就是函数f(x)的图象与y=kx+k+1的图象有4个不同的交点,
f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,
所以可以得到函数f(x)的图象
又因为y=kx+k+1=k(x+1)+1过定点(-1,1),
在同一坐标系内画出它们的图象如图,
由图得y=kx+k+1=k(x+1)+1在直线AB和y=1中间时符合要求,
而KAB=-
1
3
所以k的取值范围是-
1
3
<k<0
故答案为:(-
1
3
,0).
点评:本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用.数形结合的应用大致分两类:一是以形解数,即借助数的精确性,深刻性来讲述形的某些属性;二是以形辅数,即借助与形的直观性,形象性来揭示数之间的某种关系,用形作为探究解题途径,获得问题结果的重要工具.
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