Question

已知F是抛物线y²=4x的焦点，Q是其准线与x轴的交点，直线l过点Q，设直线l与抛物线交于点A，B．
（1）设直线FA、FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（2）若线段AB上有一点R，满足，求点R的轨迹．

Answer 1

解：（1）由题意可得P（1，0）、Q（-1，0），设直线l的方程为 y=k（x+1），k≠0，A（ x₁，y₁） B（x₂，y₂），
则 k₁+k₂=+= ①．
由 可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，∴x₁+x₂=，x₁•x₂=1．
代入①可得 k₁+k₂=0．
（2）设R（x，y），∵，而 ==，=，∴=．
从而有 y===2k．再由R（x，y）在线段AB上，故有 y=k（x+1），故有x=1．
再由 k²x²+（2k²-4）x+k²=0 的判别式△＞0，求得-1＜k＜1，故所求点R的轨迹方程为 x=1 （-2＜y＜2 y≠0），轨迹是一条线段．
分析：（1）由题意可得P（1，0）、Q（-1，0），设直线l的方程为 y=k（x+1），k≠0，A（ x₁，y₁） B（x₂，y₂），求出 k₁+k₂ 的解析式．由 可得关于x的一元二次方程，把韦达定理代入 k₁+k₂ 的解析式，化简可得结果．
（2）设R（x，y），由 可得，=，由此求得y=2k，再由R（x，y）在线段AB上，故有 y=k（x+1），求得x=1．再由 k²x²+（2k²-4）x+k²=0的判别式△＞0 求出k的范围，可得y的范围，从而求得点R的轨迹方程，进而得到点R的轨迹．
点评：本题主要考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理的应用，属于难题．