Question

设A、B是函数y=log₂x图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：x=a+2与函数y=log₂x图象交于点C，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）当△ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）、由题设条件可知D为线段AB的中点，所以先求出A、B两点的坐标，由中点公式可以求出得D点坐标．
（2）、S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}-S_{梯形AA′B′B}═log₂

(a+2)2

a(a+4)

，再由△ABC的面积大于1可以求出实数a的取值范围．

解答：解（Ⅰ）易知D为线段AB的中点，因A（a，log₂a），B（a+4，log₂（a+4）），
所以由中点公式得D（a+2，log₂

a(a+4)

）．
（Ⅱ）S_△ABC=S_{梯形AA′CC′}+S_{梯形CC′B′B}-S_{梯形AA′B′B}═log₂

(a+2)2

a(a+4)

，
其中A′，B′，C′为A，B，C在x轴上的射影．
由S_△ABC=log₂

(a+2)2

a(a+4)

＞1，得0＜a＜2

2

-2．

点评：本题考查中点坐标公式、对数性质和面积的求法，解题中要恰当地选取相关公式．