Question

（2013•莱芜二模）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%．
（I）设第n年该生产线的维护费用为a_n，求a_n的表达式；
（Ⅱ）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？

Answer 1

分析：（I）当n≤7时，数列{a_n}是首项为4，公差为2的等差数列；当n≥8时，数列{a_n}是首项为a₇，公比为

5

4

的等比数列，故可求n年该生产线的维护费用a_n的表达式；
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤7时，当n≥8时，S_n，该生产线前n年每年的平均维护费用

Sn

n

，且{

Sn

n

}为增数列，从而可求第9年初需要更新该生产线．

解答：解：（I）当n≤7时，数列{a_n}是首项为4，公差为2的等差数列，a_n=4+2（n-1）=2n+2；
当n≥8时，数列{a_n}是首项为a₇，公比为

5

4

的等比数列，又a₇=16，∴a_n=16×（

5

4

）^n-7
∴a_n的表达式为a_n=

2n+2，n≤7 16×( 5 4 )n-7，n≥8

；
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤7时，Sn=4n+n（n-1）=n²+3n…（8分）
当n≥8时，由S₇=70，S_n=S₇+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80•(

5

4

)n-7-10．
该生产线前n年每年的平均维护费用

Sn

n

=

n+3，1≤n≤7 80•( 5 4 )n-7-10 n ，n≥8

当1≤n≤7时，{

Sn

n

}为增数列，
当n≥8时，∵

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

80•( 5 4 )n-7•( n 4 -1)+10

n(n+1)

＞0，{

Sn

n

}也为增数列，
又∵

S7

7

=10＜12，

S8

8

=11.25＜12，

S9

9

≈12.78＞12，
则第9年初需要更新该生产线．

点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的通项及求和公式的运用，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型．