Question

若斜率为k的两条平行直线l，m经过曲线C的端点或与曲线C相切，且曲线C上的所有点都在l，m之间（也可在直线l，m上），则把l，m间的距离称为曲线C在“k方向上的宽度”，记为d（k）．
（1）若曲线C：y=2x²-1（-1≤x≤2），求d（-1）；
（2）已知k＞2，若曲线C：y=x³-x（-1≤x≤2），求关于k的函数关系式d（k）．

Answer 1

分析：（1）y=2x²-1（-1≤x≤2）的端点A（-1，1），B（2，7），对函数求导可得y′=4x，设切点M（x₀，2x02-1），结合导数可判断当k=-1时，与曲线C相切的直线只有一条，另一条直线过曲线的端点B（2，7），写出两直线方程，利用两平行线的距离公式可求d（-1）
（2）曲线C：y=x³-x（-1≤x≤2）的端点C（-1，0），D（2，6），设切点N（a，a³-a），由y′=3x²-1可得k=3a²-1＞2时，可得a＞1或a＜-1，且a2=

1+k

3

，则可得两平行线中的一个与直线相切与N，且切点x＞1，另一条直线过A（-1，0），写出直线方程，可求

解答：解：（1）∵y=2x²-1（-1≤x≤2）的端点A（-1，1），B（2，7）
∵y′=4x，设切点M（x₀，2x02-1）
∴4x₀=-1即x0=-

1

4

，切点M（-

1

4

，-

7

8

），
∴当k=-1时，与曲线C相切的直线只有一条，
结合题意可得，两条平行直线中一条与曲线曲线C：y=2x²-1（-1≤x≤2）相切，另一条直线过曲线的端点B（2，7）
∴平行的两条直线分别为y-7=-（x-2），y+

7

8

=-(x+

1

4

)
即x+y-9=0，x+y+

9

8

=0
由两条平行线间的距离公式可得，d=

| 9 8 +9|

2

=

81 2

16

（2）曲线C：y=x³-x（-1≤x≤2）的端点C（-1，0），D（2，6），设切点N（a，a³-a）
∴y′=3x²-1
∴k=3a²-1＞2时，可得a＞1或a＜-1，且a2=

1+k

3

∵-1≤a≤2∴1＜a＜2，即两平行线中的一个与直线相切与N，且切点x＞1，另一条直线过A（-1，0）
此时两直线方程y=k（x+1），切线方程y-（a³-a）=k（x-a）
即kx-y+k=0，kx-y+a³-（k+1）a=0
两平行线间的距离d（k）=

|k-a3+(k+1)a|

1+k2

=

k+ 2 3 (k+1) k+1 9

1+k2

点评：本题以新定义为载体，主要考查了直线与曲线的位置关系的判断，函数的导数的几何意义的应用，两点间距离公式的灵活应用是解答本题的关键