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现给出如下四个命题:
①过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有两条;
②若平面α内的两条直线都与平面β平行,则α∥β;
③已知α∩β=l,若α内的直线m垂直于l,则α⊥β;
④已知α⊥β,α∩β=l,若α内的直线m与l不垂直,则m与β也不垂直.
请你写出其中所有真命题的序号:
①④
①④
分析:①当直线过原点时,求出一条直线方程.当直线不过原点时,求出另一条直线方程;②若平面α内的两条直线都与平面β平行,则α与β相交或平行;③α∩β=l,若α内的直线m垂直于l,则α与β相交或平行;④由面面垂直的性质定理进行判断.
解答:解:①当直线过原点时,斜率等于
1-0
4-0
=
1
4

故直线的方程为y-1=
1
4
(x-4),即 x-4y=0.
当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y+m=0,把A(4,1)代入直线的方程得 m=-5,
故求得的直线方程为 x+y-5=0.
综上,满足条件的直线方程共两条件,故①正确;
②若平面α内的两条直线都与平面β平行,
则α与β相交或平行,故②错误;
③α∩β=l,若α内的直线m垂直于l,则α与β相交或平行,故③错误;
④α⊥β,α∩β=l,若α内的直线m与l不垂直,
由面面垂直的性质定理知m与β也不垂直.
故答案为:①④.
点评:本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线、面之间位置关系的定义、判定、性质,建立良好的空间想象能力是解答本题的关键.
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3
π

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④已知α⊥β,α∩β=l,若α内的直线m与l不垂直,则m与β也不垂直.
请你写出其中所有真命题的序号:   

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