Question

如图，三棱柱ABC-A₁ B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，O为AC中点．
（1）设E为BC₁中点，连接OE，证明：OE∥平面A₁AB；
（2）求二面角A-A₁B-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）法一：取BC中点F，连接OF，EF，由已知得面OEF∥面A₁AB，由此能证明OE∥平面A₁AB．
法二：由已知得OA₁⊥平面ABC，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明OE∥平面A₁AB．
（2）求出平面AA₁B的一个法向量和面A₁BC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C₁的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（1）证法一：取BC中点F，连接OF，EF…（1分）
∵E为BC₁中点，∴OF∥AB，EF∥BB₁，
∴面OEF∥面A₁AB．…（3分）
又∵OE?面OEF…（4分）
∴OE∥平面A₁AB．…（6分）
证法二：∵AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，O为AC中点，
∴OA₁⊥AC．又由题意可知，面AA₁C₁C⊥底面ABC，
面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，
且OA₁?平面AA₁C₁C，∴OA₁⊥平面ABC．
以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．…（1分）
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
∴O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)，

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)
设平面AA₁B的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n • AA1 =0 n • AB =0

，即

y+ 3 z=0 x+y=0

，令x=1，得y=-1，z=

3

3

，
∴

n

=(1，-1，

3

3

)．…（4分）
又∵E是BC₁的重点，则E=(

1

2

，1，

3

2

)，∴

OE

=(

1

2

，1，

3

2

)…（5分）
∵

n

•

OE

=0，∴OE∥平面A₁AB…（6分）
（2）解：平面AA₁B的一个法向量

n

=(1，-1，

3

3

)，
设面A₁BC₁的法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m• A1B m• A1C1

=0  =0

得

x- 3 x=0 2y=0

…（8分）
令x=1，所以

m

=(1，0，

3

3

)．…（9分）
所以a＜

m

，

n

＞=

| m • n |

| m |•| n |

=

|1+ 1 3 |

4 3 × 7 3

=

2 7

7

…（11分）
根据图象，得二面角A-A₁B-C₁的余弦值为-

2 7

7

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．