Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的弦AB的中点为M（3，2）．坐标原点为O．
（1）求直线AB的方程；   
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用点差法求出直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案；
（2）联立（1）中求出的直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求出原点到AB的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}=1$．
两式作差得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{25}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{9}$，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9}{25}•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵弦AB的中点为M（3，2），∴${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{9}{25}×\frac{6}{4}=-\frac{27}{50}$．
∴直线AB的方程为y-2=$-\frac{27}{50}（x-3）$，即27x+50y-181=0；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{27x+50y-181=0}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，得1629x²-9774x+10261=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{9774}{1629}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{10261}{1629}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{27}{50}）^{2}}\sqrt{（\frac{9774}{1629}）^{2}-4×\frac{10261}{1629}}$=$\frac{\sqrt{3229}}{50}×\frac{\sqrt{28670400}}{1629}$．
原点O到直线AB的距离d=$\frac{|-181|}{\sqrt{2{7}^{2}+5{0}^{2}}}=\frac{181}{\sqrt{3229}}$．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3229}}{50}×\frac{\sqrt{28670400}}{1629}×\frac{181}{\sqrt{3229}}$=$\frac{1086\sqrt{1991}}{8145}$．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，训练了利用“点差法”求直线方程，考查计算能力，是中档题．