Question

已知点D(-6,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0.

(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;

(2)过T(-1,0)作直线与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x₀,0),使△ABE为等边三角形,求x₀的值.

Answer 1

解：(1)设M(x,y),P(0,y′),Q(x′,0)(x′＞0),

∵=故由解得∴

再由=0,得(6,)·(x,y)=0,

6x-y²=0,∴y²=8x(x＞0).

故动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点、(2,0)为焦点的抛物线(除去原点).

(2)设过T(-1,0)的直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),

代入y²=8x,得k²x²+2(k²-4)x+k²=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁+x₂=,x₁x₂=1,∴AB中点为().线段AB的中垂线方程为y,令y=0,得x₀=+4=3+.

∴E(3+,0).∵△ABE为等边三角形,故点E到AB的距离为d=|AB|.而|AB|=|x₂-x₁|=·,

故d=.

又E到直线y=k(x+1),即kx-y+k=0的距离为,

由,解得k=±.∴3+=6.

∴E点坐标为(6,0).