Question

如下图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a_n，则

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=（　　）

• A．

  2009

  2010

• B．

  2010

  2011

• C．

  2009

  2011

• D．

  2011

  2010

Answer 1

分析：根据图象的规律可求出通项公式a_n=3n-3，故有

9

anan+1

=

1

(n-1)n

，故要求的式子

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

…+

1

2009×2010

，用裂项法求出它的值．

解答：解：由所给的图形可得，三角形的每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，
故第n个图形的点数为3n-3，即a_n=3n-3，故

9

anan+1

=

9

(3n-3)• [3(n+1)-3]

=

1

(n-1)n

．
∴

9

a2a3

+

9

a3a4

+

9

a4a5

+…+

9

a2010a2011

=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

 …+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故选A．

点评：本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．