Question

8．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜2π．
（1）若$\overrightarrow{c}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求α的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=1，cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，求tanαtanβ的值；
（3）设$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由向量共线的坐标表示和同角公式即可得到所求；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的余弦公式及同角公式，计算即可得到所求；
（3）由向量的加法运算和两角和差的余弦公式，计算即可得到所求α+β的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{c}$=（1，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，
可得2cosα=2sinα，即tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=1，
由0＜α＜2π，可得α=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=1，则2cosαcosβ+2sinαsinβ=1，
即有cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，
又cos（α+β）=$\frac{1}{3}$，即cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{1}{3}$，
解得cosαcosβ=$\frac{5}{12}$，sinαsinβ=$\frac{1}{12}$．
tanαtanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{1}{5}$；
（3）设$\overrightarrow{c}$=（2，0），若$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，
则cosα+cosβ=1，sinα+sinβ=0，
平方相加可得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，
即有cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，
平方相减可得cos2α+cos2β+2（cosαcosβ-sinαsinβ）=1，
可得2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=1，
即有cos（α+β）=1，即α+β=2kπ，k∈Z，
由0＜α＜β＜2π，可得0＜α+β＜4π，
即有k=1，可得α+β=2π．

点评 本题考查向量的数量积的坐标运算，考查三角函数的化简和求值，注意运用同角的基本关系式和二倍角公式及两角和差的余弦公式，属于中档题．