Question

如果函数y=f(x)(x∈D)满足:

①f(x)在D上是单调函数;

②存在闭区间［a,b］?D,使f(x)在区间［a,b］上的值域也是［a,b］.

那么就称函数y=f(x)为闭函数.

试判断函数y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是否为闭函数,如果是闭函数,那么求出符合条件的区间［a,b］；如果不是闭函数,请说明理由.

Answer 1

思路分析：本题立意新颖,背景鲜明,设问灵活,体现了考查能力和素质的要求.闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题.先证明函数y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是增函数.然后用反证法判断函数y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是否为闭函数.

解：设-1≤x₁＜x₂,则有

f(x₁)-f(x₂)=(x₁²+2x₁)-(x₂²+2x₂)

=(x₁²-x₂²)+2(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)，

∵-1≤x₁＜x₂,∴x₁-x₂＜0,x₁+x₂+2＞0.

∴(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)＜0.

∴f(x₁)＜f(x₂).

∴函数y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是增函数.

假设存在符合条件的区间［a,b］,则有

即解得或或或

又∵-1≤a＜b,∴

∴函数y=x²+2x〔x∈［-1,+∞)〕是闭函数,符合条件的区间是［-1,0］.