Question

（本小题满分13分）

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，

∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P。

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F。若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）解法1：以为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，

由题意得。

所以曲线是以原点为中心，、为焦点的双曲线。

设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，

则

所以曲线的方程为。

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则由题意可得

所以曲线是以原点为中心，、为焦点的双曲线。

设双曲线的方程为

则由解得，

所以曲线的方程为。

（Ⅱ）解法1：由题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理得

……①

因为与双曲线相交不同的两点E、F，

……②

设则由①式得，于是

.

而原点到直线的距离,

若面积不小于，即，则有,

解得……③

综合②、③知，直线的斜率的取值范围为。

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0。

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴     。

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）。

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

当E、F在同一支上时（如左图所示），

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时（如右图所示）。

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。

本题条件涉及到一动点到两定点距离差的绝对值，容易想到双曲线的定义，所以第（1）问只要求求了出双曲线方程中的与。第（2）涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，一般是要设出直线联立曲线，再用韦达定理，本问要解法的是求范围的问题，其不等式在第（2）问中已给出，所以只需写出三角形面积的表达式。