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(2010•武汉模拟)已知数列{an}满足an+1=
1+an
3-an
(n∈N*),且a1=0

(1)求a2,a3
(2)若存在一个常数λ,使得数列{
1
an
}
为等差数列,求λ值;
(3)求数列{an}通项公式.
分析:(1)直接根据递推关系an+1=
1+an
3-an
,以及a1=0,可求出a2,a3
(2)先假设数列{
1
an
}
为等差数列,取前三项,根据等差中项可求出λ的值,然后根据等差数列的定义证明即可;
(3)根据(2)可求出数列{
1
an-1
}
的通项公式,从而求出数列{an}通项公式.
解答:解:(1)由an+1=
1+an
3-an
a1=0知a2=
1
3
a3=
1
2
.…(4分)
(2)由数列{
1
an
}
为等差数列知
2
a2
=
1
a1
+
1
a3
6
1-3λ
=
1-4λ
λ(2λ-1)

∴解得λ=1
1
an+1-1
-
1
an-1
=
1
1+an
3-an
-1
-
1
an-1
=
3-an
2an-2
-
3
2an-2

=
-(an-1)
2(an-1)
=-
1
2
当λ=1时,数列{
1
an+1-1
}
为等差数列.   …(9分)
(3)由(2)可知:bn+1-bn=-
1
2
b1=-1,bn=(-1)+(-
1
2
)(n-1)

1
an-1
=-
1+n
2
an=
n-1
n+1
…(13分)
点评:本题主要考查了等差数列的判定,以及通项公式的求解,属于中档题.
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