Question

如图，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点．
（I）求证：B₁C∥平面AC₁M；
（II）求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析：（I）由三视图确定直观图的形状，连接A₁C，设A₁C∩AC₁=O，连接MO，证明MO∥B₁C，利用线面平行的判定，可得B₁C∥平面AC₁M；
（II）先证明C₁M⊥平面AA₁B₁B，再证明平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

解答：证明：（I）由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，连接A₁C，设A₁C∩AC₁=O．连接MO，由题意可知A₁O=CO，A₁M=B₁M，所以MO∥B₁C．
∵MO?平面AC₁M，B₁C?平面AC₁M
∴B₁C∥平面AC₁M；
（II）∵A₁C₁=B₁C₁，点M是A₁B₁的中点
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B=A₁B₁，
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B
∵C₁M?平面AC₁M
∴平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，解题的关键是掌握线面平行的判定，掌握面面垂直的证明方法．