Question

如图，已知三棱锥中，，，为中点，为 中点，且为正三角形。

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）求证：平面⊥平面；

（III）若，，求三棱锥的体积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由M为AB中点，D为PB中点，得到MD//AP，推出DM//平面APC．

（Ⅱ）由△PMB为正三角形，且D为PB中点．得到MD⊥PB．

又由（1）知MD//AP，推出AP⊥PB．

推出AP⊥平面PBC，得到AP⊥BC，推出平面ABC⊥平面PAC；

（Ⅲ）V_D-BCM = V_M-BCD =。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，

∴MD//AP，  又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC．                              3分

（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点．∴MD⊥PB．

又由（1）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，  又∵AC⊥BC．                       7分

∴BC⊥平面APC，  ∴平面ABC⊥平面PAC，

（Ⅲ）∵ AB=20

∴ MB=10   ∴PB=10

又 BC=4，

∴

又MD

∴V_D-BCM = V_M-BCD =       12分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，体积的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题计算体积时运用了“等体积法”，简化了解答过程。