Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），准线与y轴的交点为E．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）点P是抛物线C上的一个动点，抛物线在点P处的切线为l，过点P与l垂直的直线交抛物线C于另一点Q，设PE，QE的斜率分别为k₁，k₂，是否存在点P使得3k₁+2k₂=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知可得p=2，即可得出抛物线C的方程．
（II）假设存在点P使得3k₁+2k₂=0．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由y=

1

4

x 2可得y′=

1

2

x，直线l的斜率

1

2

x1，由l⊥PQ，直线PQ的斜率-

2

x1

，可得直线PQ方程y=-

2

x1

(x-x1)+

1

4

x12，与抛物线方程联立可得x2+

8

x1

x-x12-8=0，可得根与系数的关系，再利用斜率计算公式解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得抛物线C的方程为：x²=4y．
（Ⅱ）假设存在点P使得3k₁+2k₂=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由y=

1

4

x 2可得y′=

1

2

x，
∴直线l的斜率

1

2

x1，
∴x₁≠0．
由l⊥PQ，直线PQ的斜率-

2

x1

，
∴直线PQ方程y=-

2

x1

(x-x1)+

1

4

x12，
联立方程

y=- 2 x1 (x-x1)+ 1 4 x12 x2=4y

，
代入消元并整理得得x2+

8

x1

x-x12-8=0，
∴x1+x2=-

8

x1

，x1x2=-

x

2 1

-8，
∵k1=

y1+1

x1

，k2=

y2+1

x2

，
3k₁+2k₂=0，
∴3

y1+1

x1

+2

y2+1

x2

=0，
∴3y₁x₂+2y₂x₁+3x₂+2x₁=0，

1

4

x1x2(3x1+2x2)+(3x2+2x1)=0，
将x1+x2=-

8

x1

，x2=-

8

x1

-x1，x1x2=-

x

2 1

-8，代入消去x₂并整理得

x

4 1

-4

x

2 1

-32=0，(

x

2 1

+4)(

x

2 1

-8)=0，
∴x12=8，
∴存在P(±2

2

，2)．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相切问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线相互垂直与斜率的关系、导数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．